Расчет на изгиб балки
|
Расчёт балки, рамы бесплатно онлайн
Лимит расчётов:
Добро пожаловать! Данный онлайн-калькулятор предназначен для расчёта балки или рамы и позволит построить эпюры внутренних силовых факторов (изгибающих моментов, поперечных и осевых или продольных сил), рассчитать реакции в опорах. В итоге формируется отчёт с готовым решением. Удачи! |
|
Основные формулы для расчета прогиба балки
Балка является основным элементом несущей конструкции сооружения. При строительстве важно провести расчет прогиба балки. В реальном строительстве на данный элемент действует сила ветра, нагружение и вибрации. Однако при выполнении расчетов принято принимать во внимание только поперечную нагрузку или проведенную нагрузку, которая эквивалентна поперечной.

Балки в доме
При расчете балка воспринимается как жесткозакрепленный стержень, который устанавливается на двух опорах. Если она устанавливается на трех и более опорах, расчет ее прогиба является более сложным, и провести его самостоятельно практически невозможно. Основное нагружение рассчитывается как сумма сил, которые действуют в направлении перпендикулярного сечения конструкции. Расчетная схема требуется для определения максимальной деформации, которая не должна быть выше предельных значений. Это позволит определить оптимальный материал необходимого размера, сечения, гибкости и других показателей.
Виды балок
Для строительства различных сооружений применяются балки из прочных и долговечных материалов. Такие конструкции могут отличаться по длине, форме и сечению. Чаще всего используются деревянные и металлические конструкции. Для расчетной схемы прогиба большое значение имеет материал элемента. Особенность расчета прогиба балки в данном случае будет зависеть от однородности и структуры ее материала.
Деревянные
Для постройки частных домов, дач и другого индивидуального строительства чаще всего используются деревянные балки. Деревянные конструкции, работающие на изгиб, могут использоваться для потолочных и напольных перекрытий.

Деревянные перекрытия
Для расчета максимального прогиба следует учитывать:
- Материал. Различные породы дерева обладают разным показателем прочности, твердости и гибкости.
- Форма поперечного сечения и другие геометрические характеристики.
- Различные виды нагрузки на материал.
Допустимый прогиб балки учитывает максимальный реальный прогиб, а также возможные дополнительные эксплуатационные нагрузки.

Конструкции из древесины хвойных пород
Стальные
Металлические балки отличаются сложным или даже составным сечением и чаще всего изготавливаются из нескольких видов металла. При расчете таких конструкций требуется учитывать не только их жесткость, но и прочность соединений.

Стальные перекрытия
Металлические конструкции изготавливаются путем соединения нескольких видов металлопроката, используя при этом такие виды соединений:
- электросварка;
- заклепки;
- болты, винты и другие виды резьбовых соединений.
Стальные балки чаще всего применяются для многоэтажных домов и других видов строительства, где требуется высокая прочность конструкции. В данном случае при использовании качественных соединений гарантируется равномерно распределенная нагрузка на балку.
Для проведения расчета балки на прогиб может помочь видео:
Прочность и жесткость балки
Чтобы обеспечить прочность, долговечность и безопасность конструкции, необходимо выполнять вычисление величины прогиба балок еще на этапе проектирования сооружения. Поэтому крайне важно знать максимальный прогиб балки, формула которого поможет составить заключение о вероятности применения определенной строительной конструкции.
Использование расчетной схемы жесткости позволяет определить максимальные изменения геометрия детали. Расчет конструкции по опытным формулам не всегда эффективен. Рекомендуется использовать дополнительные коэффициенты, позволяющие добавить необходимый запас прочности. Не оставлять дополнительный запас прочности – одна из основных ошибок строительства, которая приводит к невозможности эксплуатации здания или даже тяжелым последствиям.
Существует два основных метода расчета прочности и жесткости:
- Простой. При использовании данного метода применяется увеличительный коэффициент.
- Точный. Данный метод включает в себя использование не только коэффициентов для запаса прочности, но и дополнительные вычисления пограничного состояния.
Последний метод является наиболее точным и достоверным, ведь именно он помогает определить, какую именно нагрузку сможет выдержать балка.
Расчет балок на прогиб
Расчет на жесткость
Для расчета прочности балки на изгиб применяется формула:
Где:
M – максимальный момент, который возникает в балке;
Wn,min – момент сопротивления сечения, который является табличной величиной или определяется отдельно для каждого вида профиля.
Ry является расчетным сопротивлением стали при изгибе. Зависит от вида стали.
γc представляет собой коэффициент условий работы, который является табличной величиной.
Расчет жесткости или величины прогиба балки является достаточно простым, поэтому расчеты может выполнить даже неопытный строитель. Однако для точного определения максимального прогиба необходимо выполнить следующие действия:
- Составление расчетной схемы объекта.
- Расчет размеров балки и ее сечения.
- Вычисление максимальной нагрузки, которая воздействует на балку.
- Определение точки приложения максимальной нагрузки.
- Дополнительно балка может быть проверена на прочность по максимальному изгибающему моменту.
- Вычисление значения жесткости или максимально прогиба балки.
Чтобы составить расчетную схему, потребуются такие данные:
- размеры балки, длину консолей и пролет между ними;
- размер и форму поперечного сечения;
- особенности нагрузки на конструкцию и точно ее приложения;
- материал и его свойства.
Если производится расчет двухопорной балки, то одна опора считается жесткой, а вторая – шарнирной.
Расчет моментов инерции и сопротивления сечения
Для выполнения расчетов жесткости потребуется значение момент инерции сечения (J) и момента сопротивления (W). Для расчета момента сопротивления сечения лучше всего воспользоваться формулой:
Важной характеристикой при определении момента инерции и сопротивления сечения является ориентация сечения в плоскости разреза. При увеличении момента инерции увеличивается и показатель жесткости.
Определение максимальной нагрузки и прогиба
Для точного определения прогиба балки, лучше всего применять данную формулу:
Где:
q является равномерно-распределенной нагрузкой;
E – модуль упругости, который является табличной величиной;
l – длина;
I – момент инерции сечения.
Чтобы рассчитать максимальную нагрузку, следует учитывать статические и периодические нагрузки. К примеру, если речь идет о двухэтажном сооружении, то на деревянную балку будет постоянно действовать нагрузка от ее веса, техники, людей.
Особенности расчета на прогиб
Расчет на прогиб проводится обязательно для любых перекрытий. Крайне важен точный расчет данного показателя при значительных внешних нагрузках. Сложные формулы в данном случае использовать необязательно. Если использовать соответствующие коэффициенты, то вычисления можно свести к простым схемам:
- Стержень, который опирается на одну жесткую и одну шарнирную опору, и воспринимает сосредоточенную нагрузку.
- Стержень, который опирается на жесткую и шарнирную опору, и при этом на него действует распределенное нагружение.
- Варианты нагружения консольного стержня, который закреплен жестко.
- Действие на конструкцию сложной нагрузки.
Применение этого метода вычисления прогиба позволяет не учитывать материал. Поэтому на расчеты не влияют значения его основных характеристик.
Пример подсчета прогиба
Чтобы понять процесс расчета жесткости балки и ее максимального прогиба, можно использовать простой пример проведения расчетов. Данный расчет проводится для балки с такими характеристиками:
- материал изготовления – древесина;
- плотность составляет 600 кг/м3;
- длина составляет 4 м;
- сечение материала составляет 150*200 мм;
- масса перекрывающих элементов составляет 60 кг/м²;
- максимальная нагрузка конструкции составляет 249 кг/м;
- упругость материала составляет 100 000 кгс/ м²;
- J равно 10 кг*м².
Для вычисления максимальной допустимой нагрузки учитывается вес балки, перекрытий и опор. Рекомендуется также учесть вес мебели, приборов, отделки, людей и других тяжелых вещей, который также будут оказывать воздействие на конструкцию. Для расчета потребуются такие данные:
- вес одного метра балки;
- вес м2 перекрытия;
- расстояние, которое оставляется между балками;
- временная нагрузка;
- нагрузка от перегородок на перекрытие.
Чтобы упросить расчет данного примера, можно принять массу перекрытия за 60 кг/м², нагрузку на каждое перекрытие за 250 кг/м², нагрузки на перегородки 75 кг/м², а вес метра балки равным 18 кг. При расстоянии между балками в 60 см, коэффициент k будет равен 0,6.
Если подставить все эти значения в формулу, то получится:
q = ( 60 + 250 + 75 ) * 0,6 + 18 = 249 кг/м.
Для расчета изгибающего момента следует воспользоваться формулой f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] £ [¦].
Подставив в нее данные, получается f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] = (5 / 384) * [(249 * 44) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * [(249 * 256) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * (6 3744 / 10 000 000) = 0,13020833 * 0,0000063744 = 0,00083 м = 0,83 см.
Именно это и является показателем прогиба при воздействии на балку максимальной нагрузки. Данные расчеты показывают, что при действии на нее максимальной нагрузки, она прогнется на 0,83 см. Если данный показатель меньше 1, то ее использование при указанных нагрузках допускается.
Использование таких вычислений является универсальным способом вычисления жесткости конструкции и величины их прогибания. Самостоятельно вычислить данные величины достаточно легко. Достаточно знать необходимые формулы, а также высчитать величины. Некоторые данные необходимо взять в таблице. При проведении вычислений крайне важно уделять внимание единицам измерения. Если в формуле величина стоит в метрах, то ее нужно перевести в такой вид. Такие простые ошибки могут сделать расчеты бесполезными. Для вычисления жесткости и максимального прогиба балки достаточно знать основные характеристики и размеры материала. Эти данные следует подставить в несколько простых формул.
Расчет прогиба балки методом начальных параметров
В этой статье будут рассмотрены основные нюансы расчета прогибов, методом начальных параметров, на примере консольной балки, работающей на изгиб. А также рассмотрим пример, где с помощью универсального уравнения, определим прогиб балки и угол поворота.
Теория по методу начальных параметров
Возьмем консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой, моментом, а также распределенной нагрузкой. Таким образом, зададимся такой расчетной схемой, где присутствуют все виды нагрузок, тем самым, охватим всю теоретическую часть по максимуму. Обозначим опорные реакции в жесткой заделке, возникающие под действием внешней нагрузки:
Выбор базы и обозначение системы координат
Для балки выберем базу с левой стороны, от которой будем отсчитывать расстояния до приложения сил, моментов, начала и конца распределенной нагрузки. Базу обозначим буквой O и проведем через нее систему координат:
Базу традиционно выбирают с левого краю балки, но можно выбрать ее и справа. Тогда в уравнении будут противоположные знаки, это может пригодиться в некоторых случаях, упростит немного решение. Понимание, когда принимать базу слева или справа, придет с опытом решения задач на метод начальных параметров.
Универсальное уравнение прогибов для балки
После введения базы, системы координат и обозначении расстояний а, б, в, г записываем универсальную формулу, с помощью которой, будем рассчитывать прогиб балки (вертикальное перемещение сечения K, находящегося на свободном торце балки): Теперь поговорим об этой формуле, проанализируем так сказать:
- E – модуль упругости;
- I – момент инерции;
- Vk – прогиб сечения K;
- VO – прогиб сечения O;
- θO – угол поворота сечения О.
Не буду приводить вывод этой формулы, не хочу отпугивать читателей, продвинутые студенты могут ознакомиться с выводом самостоятельно в учебнике по сопромату. Я только расскажу об основных закономерностях этого уравнения и как записать его для любой балки постоянного сечения.
Итак, изучаем эту формулу с лева направо. В левой части уравнения обознается искомый прогиб, в нашем случае Vk, который дополнительно умножается на жесткость балки — EI:В уравнении всегда учитывается прогиб сечения балки, совпадающего с нашей базой EIVO:
Также всегда учитывается угол поворота сечения совпадающего с выбранной базой. Причем, произведение EIθO всегда умножается на расстояние от базы до сечения, прогиб которого рассчитывается, в нашем примере — это расстояние г.
Следующие компоненты этого уравнения учитывают всю нагрузку находящуюся слева от рассматриваемого сечения. В скобках расстояния от базы до сечения отнимаются расстояния от базы до соответствующей силы или момента, начала или конца распределенной нагрузки.
Скобка, в случае с сосредоточенными силами, возводится в 3 степень и делится на 6. Если сила смотрит вверх, то считаем ее положительной, если вниз, то в уравнении она записывается с минусом:
В случае с моментами, скоба возводится во 2 степень и делится на 2. Знак у момента будет положительный, когда он направлен почасовой стрелке и отрицательным, соответственно, когда против часовой стрелки.
Учет распределенной нагрузки
Теперь поговорим о распределенной нагрузке. Как уже говорилось, в уравнении метода начальных параметров должно учитываться начало и конец распределенной нагрузки, но конец ее совпадает с сечением, прогиб которого мы хотим вычислить, поэтому в уравнение попадает только ее начало.
Причем важно, даже если бы в этом сечении была бы сила или момент, их бы так же не учитывали. Нас интересует все, что находится слева от рассматриваемого сечения.
Для распределенной нагрузки скобочка возводится в 4 степень и делится на 24. Правило знаков такое же, как и для сосредоточенных сил:
Граничные условия
Чтобы решить уравнение нам понадобятся еще кое-какие данные. С первого взгляда в уравнении у нас наблюдается три неизвестных: VK, VO и θO. Но кое-что мы можем почерпнуть из самой схемы. Мы знаем, в жесткой заделке не может быть никаких прогибов, и ни каких поворотов, то есть VO=0 и θO=0, это и есть так называемые начальные параметры или их еще называют граничными условиями. Теперь, если бы у нас была реальная задача, мы бы подставили все численные данные и нашли перемещение сечения K.
Если бы балка была закреплена с помощью шарнирно подвижной и неподвижной опоры, тогда мы бы приняли прогибы в опорах равными нулю, но угол поворота в опорах был бы уже отличен от нуля. Более подробно об этом рассказано в другой моей статье, посвященной методу начальных параметров на примере балки на двух опорах.
Чуть не забыл про еще одну величину, которую часто требуется определять методом начальных параметров. Как известно, при изгибе, поперечные сечения балок помимо того, что перемещаются вертикально (прогибаются) так еще и поворачиваются на какой-то угол. Углы поворота и прогибы поперечных сечений связаны дифференциальной зависимостью.
Если продифференцировать уравнение, которое мы получили для прогиба поперечного сечения K, то получим уравнение угла поворота этого сечения:
Пример расчета прогиба балки
Для закрепления пройденного материала, предлагаю рассмотреть пример с заданными численными значениями всех параметров балки и нагрузок. Возьмем также консольную балку, которая жестко закреплена с правого торца. Будем считать, что балка изготовлена из стали (модуль упругости E = 2·105 МПа), в сечении у нее двутавр №16 (момент инерции по сортаменту I = 873 см4). Рассчитывать будем прогиб свободного торца, находящегося слева.
Подготовительный этап
Проводим подготовительные действия, перед расчетом прогиба: помечаем базу O, с левого торца балки, проводим координатные оси и показываем реакции, возникающие в заделке, под действием заданной нагрузки:
В методе начальных параметров, есть еще одна особенность, которая касается распределенной нагрузки. Если на балку действует распределенная нагрузка, то ее конец, обязательно должен находиться на краю балки (в точке наиболее удаленной от заданной базы). Только в таком случае, рассматриваемый метод будет работать. В нашем примере, нагрузка, как видно, начинается на расстоянии 2 м. от базы и заканчивается на 4 м. В таком случае, нагрузка продлевается до конца балки, а искусственное продление компенсируется дополнительной, противоположно-направленной нагрузкой. Тем самым, в расчете прогибов будет уже учитываться 2 распределенные нагрузки:
Расчет прогиба
Записываем граничные условия для заданной расчетной схемы:
VA = 0 при x = 6м
θA = 0 при x = 6м
Напомню, что нас, в этом примере, интересует прогиб сечения O (VO). Для его нахождения составим уравнение, для сечения A, в которое будет входить искомая величина:
В полученном уравнении, у нас содержится две неизвестные величины: искомый прогиб VO и угол поворота этого сечения — θO:
Таким образом, чтобы решить поставленную задачу, составим дополнительное уравнение, но только теперь, не прогибов, а углов поворотов, для сечения A:Из второго уравнения, найдем угол поворота:После чего, рассчитываем искомый прогиб:
Таким образом, свободный торец такой балки, прогнется практически на 6 см. Данную задачу, можно решить несколько проще, если ввести базу с правого торца. В таком случае, для решения потребовалось бы лишь одно уравнение, однако, оно было бы немного объемнее, т.к. включало реакции в заделке.
Расчёт балок на прочность при изгибе
Задача 1
В некотором сечении балки прямоугольного сечения 20×30см М=28 кНм, Q=19 кН.
Требуется:
а) определить нормальное и касательное напряжения в заданной точке К, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 11 см,
б) проверить прочность деревянной балки, если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа.
Решение
а) Для определения σ(К), τ(К) и maxσ,maxτ потребуется знать величины осевого момента инерции всего сечения IН.О., осевого момента сопротивления WН.О., статического момента отсечённой части и статического момента половины сечения Smax:
Тогда:
б) Проверка прочности:
— по условию прочности нормальных напряжений:
— по условию прочности касательных напряжений:
Задача 2
В некотором сечении балки М=10кНм, Q=40кН. Поперечное сечение – треугольное. Найти нормальное и касательное напряжения в точке, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 15 см.
где
Тогда
где:
Тогда
Задача 3
Подобрать сечение деревянной балки в двух вариантах: круглое и прямоугольное (при h/b=2), если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа, и сравнить их по расходу материала.
Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем уравнения статики:
(1) ∑М(В) = F·8 – М – А·6 + (q·6)·3 =0,
откуда
(2) ∑М(А) = F·2 – М + В·6 — (q·6)·3 =0,
откуда
Iучасток
∑М(С) = М(z1) +F·z1=0,
ММ(z1) = -F·z1= — 30 ·z1 —
– уравнение прямой.
При z1 = 0: М = 0,
z1 = 2: М =- 60 кНм.
∑у= — F — Q(z1) = 0,
Q(z1) = — F = -30 кН – постоянная функция.
II участок
откуда
— уравнение параболы.
При z2=0: М = 0,
z2=3м: М = 30 · 3 – 5 · 32 = 90 — 45 = 45кНм,
z2=6м: М = 30 · 6 – 5 · 62 = 180 — 180 = 0.
∑у= Q(z2) — q·z2 + B= 0,
Q(z2) = q·z2 — B= 10·z2 – 30 – уравнение прямой,
при z2 = 0: Q = -30,
z2 = 6м: Q = 10·6 – 30 = 30.
Определение аналитического максимума изгибающего момента второго участка:
из условиянаходим :
И тогда
Заметим, что скачок в эп.М расположен там, где приложен сосредоточенный момент М = 60кНм и равен этому моменту, а скачок в эп.Q – под сосредоточенной силой А = 60 кН.
Подбор сечения балок производится из условия прочности по нормальным напряжениям, куда следует подставлять наибольший по абсолютной величине изгибающий момент из эпюры М.
В данном случае максимальный момент по модулю М = 60кНм
откуда: :
а) сечение круглой формы d=?
б) сечение прямоугольной формы при h/b = 2:
тогда
Размеры сечения, определенные из условия прочности по нормальным напряжениям, должны удовлетворять также условию прочности по касательным напряжениям:
Для простых форм сечений известны компактные выражения наибольшего касательного напряжения:
— для круглого сечения
— для прямоугольного сечения
Воспользуемся этими формулами. Тогда
— для балки круглого сечения при :
— для балки прямоугольного сечения
Чтобы выяснить, какое сечение требует меньшего расхода материала, достаточно сравнить величины площадей поперечных сечений:
Апрямоугольного = 865,3см2 < Акруглого = 1218,6см2, следовательно, балка прямоугольного сечения в этом смысле выгоднее, чем круглого.
Задача 4
Подобрать двутавровое сечение стальной балки, если [σ]=160МПа, [τ]=80МПа.
Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем два уравнения статики для их определения:
(1) ∑М(А) = – М1– F ·2 — (q·8)·4 + М2 + В·6 =0,
откуда
(2) ∑М(В) = – М1– А · 6 + F · 4 + (q·8)·2 + М2 =0,
откуда
Проверка:
∑у = А – F – q · 8 + В = 104 – 80 – 20 · 8 +136 = 240 – 240 ≡ 0.
∑М(С) = М(z1) - М1=0,
М(z1) = М1= 40 кНм – постоянная функция.
∑у= — Q(z1) = 0,
Q(z1) = 0.
II участок
— парабола.
Приz2=0: М = 40 кНм,
z2=1м: М = 40 + 104 – 10=134кНм,
z2=2м: М = 40+ 104 · 2 – 10 · 22 = 208 кНм.
∑у=А — q·z2 — Q(z2) = 0,
Q(z2) =А— q·z2 = 104 – 20·z2 – уравнение прямой,
при z2 = 0: Q = 104кН,
z2 = 6м: Q = 104 – 40 = 64кН.
III участок
— парабола.
Приz3=0: М = 24+40=-16 кНм,
z3=2м: М = 24 + 136·2 — 10 (2+2)2 = 24 + 272 – 160 = 136кНм,
z3=4м: М = 24 + 136·4 – 10 (2+4)2 = 24 + 544 – 360 = 208 кНм.
∑у=В — q(2+z3 ) + Q(z3) = 0,
Q(z3) =- В + q(2+z3 ) = -136 + 20 (2+z3 ) – уравнение прямой,
при z3 = 0: Q = -136 + 40 = — 94кН,
z3 = 4м: Q = — 136 + 20 (2+4) = — 136 + 120 = — 16кН.
IV участок
- парабола.
z4=0: М = 0кНм,
z4=1м: М = – 10кНм,
z4=2м: М = — 40кНм.
∑у=- q·z4 + Q(z4) = 0,
Q(z4) =q·z4 = 20·z4 – уравнение прямой.
Приz4 = 0: Q = 0,
z4 = 2м: Q = 40кН.
Проверяем скачки в эпюрах:
а) В эпюре М скачок на правой опоре величиной 24кНм (от 16 до 40) равен сосредоточенному моменту М2=24, приложенному в этом месте.
б) В эпюре Q три скачка:
первый из них на левой опоре соответствует сосредоточенной реакции А=104кН,
второй – под силой F=80кН и равен ей (64+16=80кН),
третий – на правой опоре и соответствует правой опорной реакции 136кН (94+40=136 кН)
Наконец, проектируем двутавровое сечение.
Подбор его размеров производится из условия прочности по нормальным напряжениям :
В сортаменте двутавровых профилей профиля с точно таким моментом сопротивления Wх нет. Есть № 40а с Wх=1190 см3 и № 45а с Wх=1430 см3
Попробуем меньший из них. Если принять двутавр № 40а, у которого Wх=1190 см3 , то наибольшее напряжение в опасном сечении будет:
и перенапряжение составитчто превышает рекомендуемую величину отклонения, равную 5%.
Поэтому приходится принимать ближайший больший размер двутавра, а именно №45а, у которого Wх=1430 см3. В этом случае балка будет работать с недонапряжением:
что меньше [σ]=160МПа на
Итак, принимается двутавр №45а, у которого: Wх=1430 см3, Iх=32240см4, Iх: Sх=38,6см, d=11,5мм.
Далее необходима проверка прочности по касательным напряжениям с помощью условия прочности :
Это условие прочности выполняется, даже с избыточным запасом.
Задача 5
Подобрать сечение балки, рассмотрев шесть вариантов форм и три вида материалов (древесина, чугун, сталь).
Решение
1.Определение опорных реакций
∑М(А) = F · 2 + М1 - М2— q·6·7 + В · 8 =0,∑М(В) = F · 10 + М1— М2 – А · 8 + q·6·1 =0,Проверка:
∑у = – 20 – 40 ·6 +50+210 = — 260 + 260 ≡ 0.
2.Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.
I участок
∑М(С) = М(z1) + F·z1=0,
М(z1) = - F·z1= -20·z1.
При z1=0: М = 0,
z1=2м: М = – 40кНм,
∑у= - F— Q(z1) = 0,
Q(z1) = — 20кН.
II участок
z2=0: М = — 20 – 40 = -60 кНм,
z2=4м: М = 200 — 20 – 120 = 200 — 140 = 60кНм.
∑у=- F + А — Q(z2) = 0,
Q =- F + А= -20+50=30кН.
III участок
- парабола.
Приz3=0: М = — 20·4= — 80 кНм,
z3=2м: М = 210·2 — 20·(2+2)2 = 420 – 320 = 100кНм,
z3=4м: М = 210·4 – 20 · (2+4)2 = 840 – 720 = 120кНм.
∑у= Q(z3) + В — q·(2+z3) = 0,
Q(z3) = — В + q·(2+z3) = — 210 + 40·(2+z3) – уравнение прямой.
Приz3 = 0: Q = -130кН,
z3 = 4м: Q = 30кН.
Q(z0) = — 210 + 40·(2+z0) = 0,
— 210 + 80 + 40·z0 = 0,
40·z0 = 130,
z0 =3,25м,
IV участок
парабола.
Приz4=0: М = 0 кНм,
z4=1м: М = – 20кНм,
z4=2м: М = — 80кНм.
∑у=- q·z4 + Q(z4) = 0,
Q(z4) =q·z4 = 40·z4 – уравнение прямой,
z4 = 0: Q = 0,
z4 = 2м: Q = 80кН.
3. Подбор сечений (опасное сечение по σ: |maxМ|=131,25кНм,
опасное сечение по τ: |maxQ|=130кН).
Вариант 1. Деревянное прямоугольное ([σ]=15МПа, [τ]=3МПа)
Принимаем: В=0,24м,
Н=0,48м.
Проверяем по τ:
Вариант 2. Деревянное круглое
Принимаем d=0,45м,
Проверяем по τ:
Вариант 3. Чугун : ([σР]=30МПа, [σс]=120МПа, [τ]=15МПа)
Принимаем b=0,19м, тогда h=0,38м, d=0,076м.
Проверка по τ:
b(у)= b — d= 0,19 — 0,076 = 0,114м
Вариант 4. Сталь, двутавр : ([σ]=160МПа, [τ]=80МПа).
по сортаменту Wх=953см3. Это №40: Ix=19062см4, Sх=545см3, d=0,83см.
Проверка по τ:
Вариант 5. Сталь, круглая труба
Принимаем D=0,22м → d = 0,6·D =0,132м.
Проверка по τ:
Вариант 6. Сталь, прямоугольная труба
b1= b — 2t = b — 2·0,1b = 0,8b,
h1= h — 2t = 0,8h,
Принимаем b=0,13м, h=0,26м.
Проверка по τ:
Кстати: какое из сечений стальной балки выгодней по расходу материала?
Двутавр — А = 72,6см2 = 72,6·10-4 = 0,00726м2,
круглая труба –
прямоугольная труба -
Самый лёгкий: двутавр → самый выгодный с точки зрения изгиба.
Расчет металлической балки на прогиб: учимся составлять формулы
Приветствую тебя, читатель экспресс-курса — «сопромат для чайников» на сайте – SoproMats.ru. Меня зовут Константин Вавилов, я являюсь автором статей по сопромату и других материалов данного ресурса. В этой статье, будем рассматривать универсальную методику расчета прогибов балки — метод начальных параметров. Как и любая другая статья для чайников, на нашем проекте, этот материал будет изложен максимально просто, лаконично и без лишних заумных терминов.В качестве примера, возьмем металлическую балку на двух опорах. Запишем для нее формулу для вычисления прогиба, посчитаем его численное значение. И также в конце этой статьи дам ссылки на другие полезные статьи с примерами определения прогибов для различных расчетных схем.
Что такое прогиб балки?
Под действием внешней нагрузки, поперечные сечения балки перемещаются вертикально (вверх или вниз), эти перемещения называются прогибами. Сопромат позволяет нам определить прогиб балки, зная ее геометрические параметры: длину, размеры поперечного сечения. И также нужно знать материал, из которого изготовлена балка (модуль упругости).
Кстати! Помимо вертикальных перемещений, поперечные сечения балки, поворачиваются на определенный угол. И эти величины также можно определить методом начальных параметров.
ν-прогиб сечения C; θ-угол поворота сечения C.
Прогибы балки необходимо рассчитывать, при расчете на жесткость. Расчётные значения прогибов не должны превышать допустимых значений. Если расчетное значение меньше, чем допустимое, то считают, что условие жесткости элемента конструкции соблюдается. Если же нет, то принимаются меры по повышению жесткости. Например, задаются другим материалом, у которого модуль упругости БОЛЬШЕ. Либо же меняют геометрические параметры балки, чаще всего, поперечное сечение. Например, если балка двутаврового профиля №12, не подходит по жесткости, принимают двутавр №14 и делают перерасчет. Если потребуется, повторяют подбор, до того момента пока не найдут тот самый – двутавр.
Метод начальных параметров
Метод начальных параметров, является довольно универсальным и простым методом. Используя этот метод можно записывать формулу для вычисления прогиба и угла поворота любого сечения балки постоянной жесткости (с одинаковым поперечным сечением по длине.)
Под начальными параметрами понимаются уже известные перемещения:
- в опорах прогибы равны нулю;
- в жесткой заделке прогиб и угол поворота сечения равен нулю.
Расчет прогибов балки
Посмотрим, как пользоваться методом начальных параметров на примере простой балки, которая загружена всевозможными типами нагрузок, чтобы максимально охватить все тонкости этого метода:
Реакции опор
Для расчета нужно знать все внешние нагрузки, действующие на балку, в том числе и реакции, возникающие в опорах.
Если ты не знаешь, как определять реакции, то рекомендую изучить данный материал, где я как раз рассказываю, как они определяются на примере этой балки:Система координат
Далее вводим систему координат, с началом в левой части балки (точка А):
Распределенная нагрузка
Метод начальных параметров, который будем использовать чуть позднее, работает только в том случае, когда распределенная нагрузка доходит до крайнего правого сечения, наиболее удаленного от начала системы координат. Конкретно, в нашем случае, нагрузка обрывается и такая расчетная схема неприемлема для дальнейшего расчета.
Если бы нагрузка была приложена вот таким способом:
То можно было бы сразу приступать к расчету перемещений. Нам же потребуется использовать один хитрый прием – ввести дополнительные нагрузки, одна из которых будет продолжать действующую нагрузку q, другая будет компенсировать это искусственное продолжение. Таким образом, получим эквивалентную расчетную схему, которую уже можно использовать в расчете методом начальных параметров:
Вот, собственно, и все подготовительные этапы, которые нужно сделать перед расчетом.
Приступим непосредственно к самому расчету прогиба балки. Рассмотрим наиболее интересное сечение в середине пролета, очевидно, что это сечение прогнется больше всех и при расчете на жесткость такой балки, рассчитывалось бы именно это сечение. Обзовем его буквой – C:
Относительно системы координат записываем граничные условия. Учитывая способ закрепления балки, фиксируем, что прогибы в точках А и В равны нулю, причем важны расстояния от начала координат до опор:
\[ { V }_{ A }=0\quad при\quad x=0 \]
\[ { V }_{ B }=0\quad при\quad x=8м \]
Записываем уравнение метода начальных параметров для сечения C:
\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=… \]
Произведение жесткости балки EI и прогиба сечения C будет складываться из произведения EI и прогиба сечения в начале системы координат, то есть сечения A:
\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+ … \]
Напомню, E – это модуль упругости первого рода, зависящий от материала из которого изготовлена балка, I – это момент инерции, который зависит от формы и размеров поперечного сечения балки. Также учитывается угол поворота поперечного сечения в начале системы координат, причем угол поворота дополнительно умножается на расстояние от рассматриваемого сечения до начала координат:
\[ E{ I }_{ z }{ V }_{C }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 4+… \]
Учет внешней нагрузки
И, наконец, нужно учесть внешнюю нагрузку, но только ту, которая находится левее рассматриваемого сечения C. Здесь есть несколько особенностей:
- Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки, которые направленны вверх, то есть совпадают с направлением оси y, в уравнении записываются со знаком «плюс». Если они направленны наоборот, соответственно, со знаком «минус»:
- Моменты, направленные по часовой стрелке – положительные, против часовой стрелки – отрицательные:
- Все сосредоточенные моменты нужно умножать дробь:
\[ M\cdot \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \]
- Все сосредоточенные силы нужно умножать дробь:
\[ F\cdot \frac { { x }^{ 3 } }{ 6 } \]
- Начало и конец распределенных нагрузок нужно умножать на дробь:
\[ q\cdot \frac { { x }^{ 4 } }{ 24 } \]
Откуда такие цифры и степени взялись? Все эти вещи вытекают при интегрировании дифференциального уравнения упругой линии балки, в методе начальных параметров все эти выводы опускаются, то есть он является как бы упрощенным и универсальным методом.
Формулы прогибов
С учетом всех вышеописанных правил запишем окончательное уравнение для сечения C:
\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 4+\frac { { R }_{ A }\cdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { F\cdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { q\cdot { 2 }^{ 4 } }{ 24 } \]
В этом уравнении содержится 2 неизвестные величины – искомый прогиб сечения C и угол поворота сечения A.
Поэтому, чтобы найти прогиб, составим второе уравнение для сечения B, из которого можно определить угол поворота сечения A. Заодно закрепим пройденный материал:
\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ B }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 8+\frac { { R }_{ A }\cdot { 8 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { F\cdot { 8 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { q\cdot 6^{ 4 } }{ 24 } +\frac { q\cdot 2^{ 4 } }{ 24 } =0 \]
Упрощаем уравнение:
\[ E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 8+874.67=0 \]
Выражаем угол поворота:
\[ { \theta }_{ A }=-\frac { 874.67 }{ 8E{ I }_{ z } } =-\frac { 109.33кН{ м }^{ 2 } }{ E{ I }_{ z } } \]
Подставляем это значение в наше первое уравнение и находим искомое перемещение:
\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=\frac { -109.33\cdot 4E{ I }_{ z } }{ E{ I }_{ z } } +\frac { { R }_{ A }\cdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { F\cdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { q\cdot { 2 }^{ 4 } }{ 24 } =-\frac { 280кН{ м }^{ 3 } }{ E{ I }_{ z } } \]
Вычисление прогиба
Значение получили в общем виде, так как изначально не задавались тем, какое поперечное сечение имеет рассчитываемая балка. Представим, что металлическая балка имеет двутавровое поперечное сечение №30. Тогда:
\[ { V }_{ C }=-\frac { 280кН{ м }^{ 3 } }{ E{ I }_{ z } } =-\frac { 280\cdot { 10 }^{ 9 }Н\cdot { см }^{ 3 } }{ 2\cdot { 10 }^{ 7 }\frac { Н }{ { см }^{ 2 } } \cdot 7080{ см }^{ 4 } } =-2см \]
На этом, пожалуй, закончу данный урок. Если у вас возникли какие-либо вопросы по представленным материалам, задавайте вопросы в комментариях к этой статье. А также рекомендую вам посмотреть другие примеры определение прогибов этим методом. Там вы найдете более сложные задачи, определение углов поворотов, примеры расчета консольных балок (с жесткой заделкой). КалькуляторТаким образом, такая балка прогнется максимально на 2 см. Знак «минус» указывает на то, что сечение переместится вниз.
для инженеров - изгибающий момент и поперечное усилие для балки с простой опорой
Избранные ссылки
Калькулятор преобразования напряжения
Расчет главного напряжения, максимального напряжения сдвига и их плоскостей
Калькулятор для анализа подвижной нагрузки
Для определения абсолютного макс. Б.М. из-за движущихся грузов.
Калькулятор преобразования напряжения
Расчет главного напряжения, максимального напряжения сдвига и их плоскостей
Калькулятор момента инерции
Расчет момента инерции плоских секций e.г. швеллер, уголок, тройник и др.
Калькулятор железобетона
Расчет прочности железобетонной балки
Калькулятор распределения моментов
Решение неопределенных балок
Калькулятор прогиба и уклона
Расчет прогиба и уклона свободно опертой балки для многих случаев нагружения
Калькулятор фиксированной балки
Инструмент для расчета изгибающего момента и поперечной силы для фиксированной балки для многих случаев нагружения
Калькулятор BM и SF для консоли
Расчет SF и BM для консоли
Калькулятор прогиба и наклона консоли
Для многих случаев нагружения консоли
Вычислитель нависающей балки
Для SF и BM многих случаев нагружения нависающей балки
Дополнительные ссылки
Викторина по гражданскому строительству
Проверьте свои знания по различным темам гражданского строительства
Научные статьи
Научные статьи, диссертации и диссертации
Небоскребы мира
Высокие здания мира
Предстоящие конференции
Список конференций, семинаров и практикумов по гражданскому строительству
Профиль инженеров-строителей
Познакомьтесь с выдающимися инженерами-строителями
Профессиональные общества
Международные профессиональные общества инженеров-строителей
Продолжайте посещать, чтобы получать обновления или присоединяйтесь к нашему списку рассылки, чтобы получать обновления
Поищите на нашем сайте больше...
Расскажите о нас друзьям
Другие полезные ссылки
.Расчет напряжения изгиба (σ) балок
Формула напряжения изгиба
Приведенная ниже математическая формула используется для расчета напряжения изгиба балки в машиностроении для определения прочности материалов. Кроме того, пошаговый расчет для каждого расчета, выполняемого с помощью этого калькулятора, позволяет пользователям узнать, как выполнять расчет напряжения изгиба.
В области прочности материалов в машиностроении , работая с выбором материала или конструкцией, важно анализировать изгибающее напряжение балок.Приведенная выше формула и пошаговый расчет могут быть полезны для пользователей, чтобы понять, как значения используются в формуле для определения напряжения изгиба балки, однако, когда дело доходит до оперативных расчетов, это горизонтальное напряжение изгиба (σ ) калькулятор помогает пользователю выполнить и проверить такие расчеты прочности материалов как можно быстрее.
.Калькулятордля балок: реакции опор, изгибающий момент, напряжения
Этот онлайн-калькулятор балок рассчитывает сил и моментов в двух подшипниках (= опорные реакции) и углы наклона статически определенных или статически неопределимые балки. Кроме того, поперечная сила , , изгибающий момент , , напряжение изгиба , и отклонение может быть определено в желаемом месте.Изгибающий момент, поперечная сила и прогиб как функция длины x показаны. графически на двух диаграммах . Расчет максимального изгибающего момента , максимального напряжения изгиба , максимальное отклонение и соответствующее положение также возможно.
Подшипники могут быть выполнены в виде неподвижного подшипника, подвижного подшипника, фиксированного зажима или свободного конца.В качестве нагрузки, равной нагрузки или точечной нагрузки, или их комбинации, или треугольной нагрузки. (влево или вправо) можно выбрать.
* Чтобы ввести эти значения, выберите в разделе «Поперечное сечение A» -> «Другие профили» -> «Собственный профиль».
** Модуль упругости вводится автоматически при выборе материала и может быть изменен в любой момент; подходящих значений вы можете найти, например, в википедии.
Осторожно:
Для профилей с отверстием только I, W и максимальное напряжение изгиба правильно рассчитываются с помощью дополнительных функций.Для других значений выберите профиль без отверстия!
С помощью этого калькулятора можно рассчитать опорные силы как статически определенных, так и статически неопределенных систем. Возможны следующие комбинации:
.КАЛЬКУЛЯТОРЫ КОМПРЕССИОННЫХ ЧЛЕНОВ | |
Калькулятор | Определение |
Расчет элементов сжатия (продольного изгиба) | |
ПРОСТО ОПОРНАЯ БАЛКА КАЛЬКУЛЯТОРЫ ПРОБЕГА | |
Балка с простой опорой и множественными точечными / распределенными нагрузками и моментами | |
Балка с простой опорой и сосредоточенной нагрузкой в любой точке | |
Просто поддерживаемая балка с двумя Точечные нагрузки | |
Балка с простой опорой и частично распределенной промежуточной нагрузкой | |
Балка с простой опорой и двумя частично распределенными промежуточными нагрузками | |
Балка с простой опорой и моментом | |
Балка с простой опорой и двумя моментами | |
КАНТИЛЬНАЯ БАЛКА КАЛЬКУЛЯТОРЫ ПРОБЕГА | |
Консольная балка с множественными точечными / распределенными нагрузками и моментами | |
Консольная балка с одинарной нагрузкой | |
Распределенная нагрузка консольной балки | |
| MechaniCalc
Калькулятор балки позволяет анализировать напряжения и прогибы в прямых балках.
Опции
Пример нагрузки
Очистить все данные
Входы
Введите данные балки, затем нажмите кнопку «Рассчитать результаты»:
---
Добавить ограничение
Удалить ограничение
Невозможно отобразить сюжет - браузер устарел.
Рассчитать результаты
Предупреждение - Перед решением необходимо исправить следующее:
Дисплейные блоки
Результаты
Результаты анализа пучка подробно описаны ниже. Задача решалась в виде конечно-элементной модели с использованием балочных элементов. Для получения дополнительной информации о том, как были получены эти результаты, обратитесь к справочнику по конечно-элементному анализу и справочнику по напряжению и прогибу балки.
Обзор результатов
Максимальный прогиб и наклон приведены ниже:
Значение | Расположение | |
---|---|---|
Максимальный прогиб: | ||
Максимальный наклон: |
Схема свободного тела (FBD) и деформированная сетка показаны ниже.
Невозможно отобразить сюжет - браузер устарел.
Невозможно отобразить сюжет - браузер устарел.
См. Полную информацию о результатах на других вкладках (выше).
Обзор модели
Модель с приложенными силами и ограничениями показана ниже:
Невозможно отобразить сюжет - браузер устарел.
Свойства материала
Материал:
Имущество | Значение |
---|---|
Предел текучести | |
Максимальная прочность | |
Модуль упругости | |
Коэффициент Пуассона |
Характеристики поперечного сечения
Поперечное сечение:
Имущество | Значение |
---|---|
Высота (Y) | |
Ширина (X) | |
Толщина стенки | |
Толщина фланца | |
Площадь | |
Центроидное расстояние (в направлении первичного изгиба) | |
Момент инерции, центроидный (относительно оси первичного изгиба) |
Диаграмма момента сдвига
Диаграммы сдвига и момента показаны ниже.Соблюдаются стандартные условные обозначения для диаграмм момента сдвига:
- Сдвиг: положительный сдвиг вызывает вращение балки по часовой стрелке, отрицательный сдвиг вызывает вращение против часовой стрелки.
- Момент: Положительный момент сжимает верхнюю часть балки и удлиняет нижнюю часть балки (т. Е. Заставляет балку «улыбаться»).
Невозможно отобразить сюжет - браузер устарел.
Невозможно отобразить сюжет - браузер устарел.
Невозможно отобразить сюжет - браузер устарел.
Графики напряжений
Графики напряжений показаны ниже.
Невозможно отобразить сюжет - браузер устарел.
Невозможно отобразить сюжет - браузер устарел.
Невозможно отобразить сюжет - браузер устарел.
Невозможно отобразить сюжет - браузер устарел.
Напряжения рассчитываются на основе следующих уравнений:
Осевое напряжение | Напряжение сдвига | Напряжение изгиба | Напряжение по Мизесу |
---|---|---|---|
Графики прогиба
Графики прогиба показаны ниже.Условные обозначения прогибов:
.- X: положительный справа, отрицательный слева
- Y: положительный вверх, отрицательный вниз
- Наклон: линейка правой руки (положительное значение против часовой стрелки, отрицательное значение по часовой стрелке)
Невозможно отобразить сюжет - браузер устарел.
Невозможно отобразить сюжет - браузер устарел.
Невозможно отобразить сюжет - браузер устарел.
Невозможно отобразить сюжет - браузер устарел.
Эта проблема была решена в виде конечно-элементной модели. На этой вкладке представлены результаты для отдельных узлов и элементов модели.
На приведенном ниже графике показана сетка с номерами элементов , помеченными:
Невозможно отобразить сюжет - браузер устарел.
Узловые результаты
Ниже приведены результаты для каждого узла. Следует отметить несколько моментов:
- Определенные узлы связаны с точками, и для этих узлов указан номер связанной точки.
- Сначала перечислены все узлы, связанные с точками, за ними следуют узлы, которые были созданы как часть процесса построения сетки.
- Для ограниченных степеней свободы могут существовать внешние реакции. Любые узлы, не имеющие ограничений, не будут иметь внешних реакций.
Элементарные результаты
Ниже приведены результаты для каждого элемента. Следует отметить несколько моментов:
- Каждый элемент состоит из 2 узлов. В таблице эти узлы обозначаются как «Узел 1» и «Узел 2».
- Внутренние реакции задаются в единицах глобальной системы координат (т.е. X и Y), а также в локальной системе координат (т.е. «осевой» вдоль оси элемента, «сдвиг» перпендикулярно элементу).
Загрузить результаты в Excel
Загрузите файл Excel на свой компьютер, содержащий узловые и элементарные результаты.
Скачать отчет
Сохраните отформатированный документ Word на свой компьютер с подробным описанием входных данных и результатов анализа.
Скачать файл ввода
Сохранить все входные данные в файл. Позже вы можете загрузить этот файл, чтобы продолжить с того места, где вы остановились.
Требуется больше функциональности?
Зарегистрируйтесь, чтобы получить полный доступ ко всем калькуляторам и другому контенту. Типы подписки описаны ниже вместе с преимуществами каждого из них.
- Цена
- Доступ к калькуляторам
- Логин
- Создание материалов
- Создание сечений
- Сохранить файлы
- Отчетность
- Свободный
-
Ограничено
Ограниченный Доступ к калькуляторам
-
Предварительно определенные Поперечные сечения
- Учить больше "
-
39 долларов США.99 / месяц 249,99 долларов США в год -
Полный
Полный Доступ к калькуляторам
-
Плавающие лицензии
Плавающие лицензии
- Учить больше "
- Зарегистрироваться сейчас
Определение уравнений поперечной силы и изгибающего момента балки с опорой
Вычислите реакции на опорах балки
1. Балка находится в равновесии, когда она неподвижна относительно инерциальной системы отсчета. Следующие условия выполняются, когда балка, на которую действует система сил и моментов, находится в равновесии:
ΣF x = 0: P 1 * cos (45) + H A = 0
ΣM A = 0: Сумма моментов относительно точки A равна нулю:
- P 1 * sin (45) * 2 + q 1 * 3.5 * (2 - 3,5 / 2) - P 2 * 4,5 + M 1 + R B * 7 = 0
ΣM B = 0: Сумма моментов относительно точки B равна ноль:
- P 1 * sin (45) * 9 + q 1 * 3,5 * (9 - 3,5 / 2) - R A * 7 + P 2 * 2,5 + M 1 = 0
2. Решите эту систему уравнений:
H A = - P 1 * cos (45) = - 5 * 0.7071 = -3,54 (кН)
Рассчитайте реакцию опоры ролика относительно точки B:
R B = ( P 1 * sin (45) * 2 - q 1 * 3.5 * (2 - 3,5 / 2) + P 2 * 4,5 - M 1 ) / 7 = ( 5 * sin (45) * 2 - 10 * 3,5 * (2 - 3,5 / 2) + 5 * 4,5 - 10 ) / 7 = 1,55 (кН)
Рассчитайте реакцию опоры штифта относительно точки A:
R A = ( - P 1 * sin (45) * 9 + q 1 * 3,5 * (9 - 3,5 / 2) + P 2 * 2,5 + M 1 ) / 7 = ( - 5 * sin (45) * 9 + 10 * 3,5 * (9 - 3,5 / 2) + 5 * 2,5 + 10 ) / 7 = 34,92 (кН)
3. Сумма сил равна нулю: ΣF y = 0: P 1 * sin (45) - q 1 * 3.5 + R A - P 2 + R B = 5 * sin (45) - 10 * 3,5 + 34,92 - 5 + 1,55 = 0
Нарисуйте схемы балки
Первый пролет балка: 0 ≤ x 1 <1Нагрузки на этот пролет не указаны.Второй пролет балки: 1 ≤ x 2 <3
Определите уравнения для осевой силы (Н):Третий пролет балки: 3 ≤ x 3 <4,5
Н (x 2 ) = - P 1 * cos (45)
Н 2 (1) = - 5 * 0,7071 = -3.54 (кН)
Н 2 (3) = - 5 * 0,7071 = -3,54 (кН)
Определите уравнения для поперечной силы (Q):
Q (x 2 ) = P 1 * sin (45) - q 1 * (x 2 - 1)
Q 2 (1) = 3,54 * sin (45) - 10 * (1 - 1) = 3,54 (кН)
Q 2 (3) = 3,54 * sin (45) - 10 * (3 - 1) = -16,46 (кН)Значение Q на этом пролете, который пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:
x = 0,35
Определите уравнения для изгибающего момента (M):
M (x 2 ) = P 1 * (x 2 - 1) * sin (45) - q 1 * (x 2 - 1) 2 /2
M 2 (1) = 5 * (1 - 1) * sin (45) - 10 * (1 - 1) 2 /2 = 0 (кН * м)
M 2 (3) = 5 * (3 - 1) * sin (45) - 10 * (3 - 1) 2 /2 = -12.93 (кН * м)Локальный экстремум в точке x = 0,35:
M 2 (1,35) = 5 * (1,35 - 1) * sin (45) - 10 * (1,35 - 1) 2 / 2 = 0,63 (кН * м)
Определите уравнения для осевой силы (Н):Четвертый пролет балки: 4,5 ≤ x 4 <7,5
Н (x 3 ) = - P 1 * cos (45) + H A
N 3 (3) = - 5 * 0,7071 + 3,54 = 0 (кН)
N 3 (4,50) = - 5 * 0,7071 + 3,54 = 0 (кН)
Определите уравнения для поперечной силы (Q):
Q (x 3 ) = P 1 * sin (45) - q 1 * (x 3 - 1) + R А
Q 3 (3) = 3.54 * sin (45) - 10 * (3 - 1) + 34,92 = 18,45 (кН)
Q 3 (4,50) = 3,54 * sin (45) - 10 * (4,5 - 1) + 34,92 = 3,45 (кН )
Определите уравнения для изгибающего момента (M):
M (x 3 ) = P 1 * (x 3 - 1) * sin (45) - q 1 * (x 3 - 1) 2 /2 + R A * (x 3 - 3)
M 3 (3) = 5 * (3 - 1) * sin (45) - 10 * (3 - 1) 2 /2 + 34,92 * (3 - 3) = -12,93 (кН * м)
M 3 (4,50) = 5 * (4.50 - 1) * sin (45) - 10 * (4,50 - 1) 2 /2 + 34,92 * (4,50 - 3) = 3,50 (кН * м)
Определите уравнения для осевой силы (Н):5-й пролет балки: 7,5 ≤ x 5 <9
Н (x 4 ) = - P 1 * cos (45) + H A
N 4 (4,50) = - 5 * 0,7071 + 3,54 = 0 (кН)
Н 4 (7,50) = - 5 * 0,7071 + 3,54 = 0 (кН)
Определите уравнения для поперечной силы (Q):
Q (x 4 ) = P 1 * sin (45) - q 1 * (4.5 - 1) + R A
Q 4 (4,50) = 3,54 * sin (45) - 10 * (4,5 - 1) + 34,92 = 3,45 (кН)
Q 4 (7,50) = 3,54 * sin (45) - 10 * (4,5 - 1) + 34,92 = 3,45 (кН)
Определите уравнения для изгибающего момента (M):
M (x 4 ) = P 1 * (x 4 - 1) * sin (45) - q 1 * (4,5 - 1) * [ (x 4 - 4,50) + (4,50 - 1) / 2 ] + R A * (x 4 - 3)
M 4 (4,50) = 5 * (4,50 - 1) * sin (45) - 10 * 3.5 * (0 + 1,75) + 34,92 * (4,50 - 3) = 3,50 (кН * м)
M 4 (7,50) = 5 * (7,50 - 1) * sin (45) - 10 * 3,5 * (3 + 1,75) + 34,92 * (7,50 - 3) = 13,86 (кН * м)
Определите уравнения для осевой силы (Н):6-й пролет балки: 9 ≤ x 6 <10
Н (x 5 ) = - P 1 * cos (45) + H A - P 2
N 5 (7,50) = - 5 * 0,7071 + 3,54 - 5 = 0 (кН)
N 5 (9) = - 5 * 0,7071 + 3,54 - 5 = 0 (кН)
Определите уравнения для поперечной силы (Q):
Q (x 5 ) = P 1 * sin (45 ) - q 1 * (4.5 - 1) + R A - P 2
Q 5 (7,50) = 3,54 * sin (45) - 10 * (4,5 - 1) + 34,92 - 5 = -1,55 (кН)
Q 5 (9) = 3,54 * sin (45) - 10 * (4,5 - 1) + 34,92 - 5 = -1,55 (кН)
Определите уравнения для изгибающего момента (M):
M (x 5 ) = P 1 * (x 5 - 1) * sin (45) - q 1 * (4,5 - 1) * [ (x 5 - 4,50) + (4,50 - 1) / 2 ] + R A * (x 5 - 3) - P 2 * (x 5 - 7.5)
M 5 (7,50) = 5 * (7,50 - 1) * sin (45) - 10 * 3,5 * (3 + 1,75) + 34,92 * (7,50 - 3) - 5 * (7,50 - 7,5) = 13,86 (кН * м)
M 5 (9) = 5 * (9-1) * sin (45) - 10 * 3,5 * (4,50 + 1,75) + 34,92 * (9-3) - 5 * (9 - 7,5) = 11,55 (кН * м)
Определите уравнения для осевой силы (Н):
Н (x 6 ) = - P 1 * cos (45) + H A - P 2
N 6 (9) = - 5 * 0.7071 + 3,54 - 5 = 0 (кН)
Н 6 (10) = - 5 * 0,7071 + 3,54 - 5 = 0 (кН)
Определите уравнения для поперечной силы (Q):
Q (x 6 ) = P 1 * sin (45) - q 1 * (4,5 - 1) + R A - P 2
Q 6 (9) = 3,54 * sin (45) - 10 * (4,5 - 1) + 34,92 - 5 = -1,55 (кН)
Q 6 (10) = 3,54 * sin (45) - 10 * (4,5 - 1) + 34,92 - 5 = -1,55 (кН)
Определите уравнения для изгибающего момента (M):
M (x 6 ) = P 1 * (x 6 - 1) * sin (45) - q 1 * (4.5 - 1) * [ (x 6 - 4,50) + (4,50 - 1) / 2 ] + R A * (x 6 - 3) - P 2 * (x 6 - 7,5) - M 1
M 6 (9) = 5 * (9-1) * sin (45) - 10 * 3,5 * (4,50 + 1,75) + 34,92 * (9-3) - 5 * (9 - 7,5) - 10 = 1,55 (кН * м)
M 6 (10) = 5 * (10-1) * sin (45) - 10 * 3,5 * (5,50 + 1,75) + 34,92 * (10 - 3) - 5 * (10 - 7,5) - 10 = 0 (кН * м)
Решено BEAMGURU.COM.